Електроний посібник з
дисципліни "Мікропроцесорні системи"
дисципліни "Мікропроцесорні системи"
1.2.1.Основи булевої алгебри
Для опису роботи дискретних і цифрових пристроїв використовується математичний апарат алгебри логіки або булевої алгебри. Основними поняттями булевої алгебри є логічна змінна й логічна функція.
Логічна змінна - це величина, яка може приймати тільки два можливі значення, одне з яких за твердженням вважається «справжнім» а друге -«помилковим». У булевій алгебрі справжнє значення змінної позначається символом «1» (логічна одиниця), неправильне - символом «0» (логічний нуль).Самі змінні частіше позначають символами x1, x2 ,..., xn . У силу визначення логічні змінні можна називати також двійковими.
Логічна - це функція двійкових змінних (аргументів), яка також може приймати тільки одне з двох значень, яке так само, за твердженням, може бути справжнім (що дорівнює «1») або помилковим (що дорівнює «0»). Значення деякої логічної функції n змінних задається для кожної комбінації двійкових змінних, кількість можливих різних наборів яких дорівнює 2n . При цьому, оскільки сама функція на кожному наборі може приймати значення «0» або «1», загальне число можливих функцій від n змінних дорівнює 2 . 2n. Позначається логічна функція звичайно символом y .
Для безлічі значень, які можуть приймати як аргументи, так і функції в булевій алгебрі визначаються відношення еквівалентності, позначуване символом рівності «=», і три операції: логічного додавання (диз'юнкції), логічного множення (кон’юнкції), логічного заперечення (інверсії), позначувані відповідно символами:
+ або U - операція диз'юнкції,
- або U або & - операція кон’юнкції,
* - операція інверсії (* - символ аргументу або функції).
З огляду на постулати при виконанні перерахованих операцій відносини еквівалентності мають вигляд:
а) б) в)
0+0=0 0*0=0 0=1
0+1=1 0*1=0 1=0 (1.1)
1+0=1 0*1=0
1+1=1 1*1=1
На підставі постулатів (1) можна вивести наступні співвідношення (закони) алгебри логіки:
1. Закони одинарних елементів: універсальної множини - а); нульової множини - б); тавтології - в).
а) б) в)
Х+1=1 Х+0=Х Х+Х=Х
Х*1=Х Х*0=0 Х*Х=Х (1.2)
Для опису роботи дискретних і цифрових пристроїв використовується математичний апарат алгебри логіки або булевої алгебри. Основними поняттями булевої алгебри є логічна змінна й логічна функція.
Логічна змінна - це величина, яка може приймати тільки два можливі значення, одне з яких за твердженням вважається «справжнім» а друге -«помилковим». У булевій алгебрі справжнє значення змінної позначається символом «1» (логічна одиниця), неправильне - символом «0» (логічний нуль).Самі змінні частіше позначають символами x1, x2 ,..., xn . У силу визначення логічні змінні можна називати також двійковими.
Логічна - це функція двійкових змінних (аргументів), яка також може приймати тільки одне з двох значень, яке так само, за твердженням, може бути справжнім (що дорівнює «1») або помилковим (що дорівнює «0»). Значення деякої логічної функції n змінних задається для кожної комбінації двійкових змінних, кількість можливих різних наборів яких дорівнює 2n . При цьому, оскільки сама функція на кожному наборі може приймати значення «0» або «1», загальне число можливих функцій від n змінних дорівнює 2 . 2n. Позначається логічна функція звичайно символом y .
Для безлічі значень, які можуть приймати як аргументи, так і функції в булевій алгебрі визначаються відношення еквівалентності, позначуване символом рівності «=», і три операції: логічного додавання (диз'юнкції), логічного множення (кон’юнкції), логічного заперечення (інверсії), позначувані відповідно символами:
+ або U - операція диз'юнкції,
- або U або & - операція кон’юнкції,
* - операція інверсії (* - символ аргументу або функції).
З огляду на постулати при виконанні перерахованих операцій відносини еквівалентності мають вигляд:
а) б) в)
0+0=0 0*0=0 0=1
0+1=1 0*1=0 1=0 (1.1)
1+0=1 0*1=0
1+1=1 1*1=1
На підставі постулатів (1) можна вивести наступні співвідношення (закони) алгебри логіки:
1. Закони одинарних елементів: універсальної множини - а); нульової множини - б); тавтології - в).
а) б) в)
Х+1=1 Х+0=Х Х+Х=Х
Х*1=Х Х*0=0 Х*Х=Х (1.2)
Дипломный проект
2.Закони заперечення: подвійного заперечення - а); додатковості - б), подвійності - в).
3.Закони абсорбції або поглинання - а), склеювання - б).
(1.3)
(1.4)
Закони подвійності (3, в), які також мають назву де-Моргана, були узагальнені К. Шенноном на випадок довільного (n) числа аргументів.
Крім законів, зазначених вище, які не мають аналогів у звичайній алгебрі (алгебрі чисел), для алгебри логіки справедливі закони звичайної алгебри: комутативні або переставні, дистрибутивні або розподільні, асоціативні або сполучні.
Будь-яка логічна функція y для n двійкових змінних x1, x2 ,..., xn може бути задана за допомогою таблиць. Вони одержали назву таблиць істинності, що містять 2n рядків, у які записуються всі можливі двійкові набори значень аргументів, а також відповідне кожному із цих наборів значення функції.
У дискретній і цифровій схемотехніці широко використовуються функції заперечення, кон’юнкції, заперечення кон’юнкції, диз'юнкції, заперечення диз'юнкції й додавання за модулем два. Для реалізації цих функцій розроблені й випускаються інтегральні мікросхеми. Їх часто називають базовими логічними елементами «НІ», «І», «І - НІ», «АБО», «АБО - НІ», а пристрої, синтезовані на їхній основі, називають комбінаційними автоматами або пристроями комбінаційного типу.
Крім законів, зазначених вище, які не мають аналогів у звичайній алгебрі (алгебрі чисел), для алгебри логіки справедливі закони звичайної алгебри: комутативні або переставні, дистрибутивні або розподільні, асоціативні або сполучні.
Будь-яка логічна функція y для n двійкових змінних x1, x2 ,..., xn може бути задана за допомогою таблиць. Вони одержали назву таблиць істинності, що містять 2n рядків, у які записуються всі можливі двійкові набори значень аргументів, а також відповідне кожному із цих наборів значення функції.
У дискретній і цифровій схемотехніці широко використовуються функції заперечення, кон’юнкції, заперечення кон’юнкції, диз'юнкції, заперечення диз'юнкції й додавання за модулем два. Для реалізації цих функцій розроблені й випускаються інтегральні мікросхеми. Їх часто називають базовими логічними елементами «НІ», «І», «І - НІ», «АБО», «АБО - НІ», а пристрої, синтезовані на їхній основі, називають комбінаційними автоматами або пристроями комбінаційного типу.